PI-1588: Initialization of Particle Filter and Posterior Cramér-Rao
Bound for Bearings-Only Tracking in Modified Polar Coordinate System
Thomas Bréhard, Jean-Pierre Le Cadre
http://www.irisa.fr/bibli/publi/pi/2004/1588/1588.html
28 pages - janvier 2004

Abstract
We here address the classical bearings-only tracking problem (BOT) for a
single object, which belongs to the general class of non linear
filtering problems. Recently, algorithms based on sequential Monte Carlo
methods (particle filtering) have been proposed. However, initializing
particle filtering is often the main difficulty, especially if the state
is only partially observed (BOT). To remedy for this problem, the
problem is immersed in a modified polar coordinate (MP) framework. This
approach leads us to consider an original formulation of the BOT problem
within the MP system. In particular, it is shown that this problem is
relevant to a more general class of problems: non-linear filtering with
unknown state covariance. Inside this particular framework, particle
filters can be quite convinently initialized by using only observed
bearings (optimization problem). The whole algorithm performs quite
satisfactorily, avoiding the need of a strong prior about target
location and velocity. Simulation results illustrate the benefits of
this approach. The Posterior Cramér-Rao Bound (PCRB) provides a lower
bound on the mean square error. Original PCRB approximations for the
``partial'' state target (the observable components) are derived. It is
well-known that the "usual" PCRB is (very) over-optimistic. Relaxing the
asymptotic unbiasness hypothesis, a new bound is derived, both for
partial or complete state vectors, which presents a good agreement with
estimated MSE from simulated data.

Résumé
Le problème de pistage d'une cible unique par mesure d'angle seule (BOT)
est un problème classique appartenant à la classe des problèmes de
filtrage non linéaires. Ce type de problème a été résolu récemment à
l'aide d'une méthode séquentielle de type Monte Carlo (filtrage
particulaire). Toutefois, l'initialisation de cette algorithme reste
très délicate notamment lorsque une partie seulement de l'état est
observable. L'utilisation des coordonnées polaires modifiées se révéle
alors cruciale. En effet, cette approche permet de déduire une nouvelle
formulation pour le BOT. En particulier, on montre alors que ce problème
appartient à une classe plus générale: les problèmes de filtrage non
linéaires avec covariance d'état inconnue. Dans ce cadre, l'algorithme
de filtrage particulaire peut-être correctement initialisé en utilisant
les mesures d'angles observées (problème d'optimisation). Cette méthode
originale est illustrée par des résultats de simulations qui s'avérent
très satisfaisants. L'avantage principal de cette dernière est qu'elle
ne nécessite pas un a priori fort concernant la localisation et la
vitesse de la cible. La borne de Cramér-Rao à posteriori (PCRB) est une
borne inférieure pour l'erreur quadratique moyenne. Il est bien connue
que la PCRB "usuelle" est très optimiste. Une nouvelle borne pour l'état
partiel (les composantes observables) ou l'état complet est obtenue en
relâchant l'hypothèse de biais asympotique. Cette nouvelle borne fournit
des résultats plus réalistes relativement à l'erreur quadratique
calculée à partir de données simulées.

Keywords: Bearings-only tracking, initialization, sequential Monte Carlo
methods, posterior Cramér-Rao bound, performance analysis

Mots clefs: Pistage par mesure d'angle seule, initialisation, methodes
Monte Carlo sequentielles, borne de Cramér-Rao à posteriori, analyse de
performances